CONOPT 3 求解器手册

1. 引言

本文档适用于 CONOPT 3。在下文中，我们将 CONOPT 3 简称为 CONOPT。请注意，还存在改进版本 CONOPT 4。

使用 GAMS 创建的非线性模型必须用非线性规划（NLP）算法来求解。目前有大量不同的求解器可用，而且数量还在增长。

求解器之间最重要的区别在于它们是试图寻找局部解还是全局解。试图寻找全局解的求解器（所谓的全局求解器）通常无法求解非常大的模型。相比之下，大多数局部求解器可以处理大得多的模型，超过 10,000 个变量和约束的模型并不罕见。如果模型具有正确的数学性质（例如是凸的），则局部求解器能够找到全局最优解。遗憾的是，检验一般 NLP 模型是否为凸的数学机制尚未发展成熟（预计属于难题类别）。

几乎不可能预测某个特定模型用某个特定算法求解的难易程度，尤其是对于 NLP 模型，因此 GAMS 无法自动为您选择最佳算法。安装 GAMS 时，您必须选择一种非线性规划算法作为 NLP 模型的默认求解器。如果您想针对特定模型在算法之间切换，可以在 GAMS 源文件中的 Solve 语句之前添加语句 Option NLP = <求解器名称>，也可以在 GAMS 命令行上添加 NLP = <求解器名称>，或重新运行 gamsinst 程序。

确定哪种求解器适用于哪类模型的唯一可靠方法目前仍是试验。不过，有一些经验法则：

• CONOPT 非常适合具有高度非线性约束的模型。如果您遇到求解器在优化过程中难以保持可行性的情况，应尝试使用 CONOPT。另一方面，如果您的模型在目标函数之外几乎没有非线性，则其他求解器可能是最佳选择。
• CONOPT 具有快速寻找第一个可行解的方法，特别适用于自由度少的模型。如果您的模型具有大致相同数量的约束和变量，应尝试使用 CONOPT。CONOPT 也可用于求解没有目标函数的方系统方程组，对应于 GAMS 模型类型 CNS（约束非线性系统）。
• CONOPT 可以使用二阶导数。如果变量数量远多于约束数量，CONOPT 将使用二阶导数，整体进度可能比 MINOS 或 SNOPT 快得多。IPOPT 和 KNITRO 也使用二阶导数，但方法非常不同，无法预测哪种求解器更好。
• CONOPT 有一个预处理步骤，在此步骤中递归方程和变量被求解并从模型中移除。如果您的模型中有许多方程可以逐个求解，CONOPT 将利用这一特性。类似地，仅用于定义目标项的中间变量将从模型中消除，约束被移入目标函数。
• CONOPT 具有许多内置测试和消息，许多可以且应该由建模者改进的模型会被拒绝并附带建设性消息。因此，CONOPT 在模型开发过程中也是一个有用的调试工具。最终调试后的模型的最佳求解器可能是或不一定是 CONOPT。
• CONOPT 是为大型稀疏模型设计的。这意味着变量和方程的数量都可以很大。实际上，已成功求解了超过 100,000 个方程和变量的 NLP 模型，以及超过 1,000,000 个方程和变量的 CNS 模型。构建 CONOPT 所用的组件是在模型稀疏的假设下选择的，即大多数函数只依赖于少量变量。CONOPT 也可用于更稠密的模型，但性能将显著下降。
• CONOPT 是为具有光滑函数的模型设计的，但也可应用于不具有可微函数的模型（在 GAMS 中称为 DNLP 模型）。然而，CONOPT 将使用与真实 NLP 模型相同的算法，它将搜索满足标准一阶最优性条件的点，而不考虑模型的部分可能是不光滑或不可微的。光滑性的缺乏可能会混淆 CONOPT 中的算法，导致收敛缓慢，而且满足标准一阶最优性条件的点可能根本不存在。因此，对此类模型没有任何保证。如果 CONOPT 以局部最优解终止，则该解确实将是局部最优的。然而，有时您会得到诸如"收敛太慢"或"尽管简化梯度大于容差但目标函数没有变化"之类的终止消息，表明终止不成功。最终点可能是也可能不是局部最优的。如果可能，您应尝试将 DNLP 模型重新表述为等价或近似等价的形式，如 NLP 和 DNLP 模型部分所述。

大多数建模者不应关注算法细节，例如算法子组件或容差的选择。CONOPT 具有相当多的内置逻辑，可以选择看似最适合当前模型类型的求解方法，并且随着关于模型行为的信息的收集和更新，该方法会动态调整。CONOPT 算法的描述已移至附录 A，大多数建模者可以跳过。但是，如果您遇到困难，可能需要参考附录 A 以了解一些更具体的信息。

2. 终止消息

当 CONOPT 完成时，它将显示一条终止消息，说明完成的原因。本节将显示大部分这些消息，并附带简短说明。它还将显示返回给 GAMS 的模型状态（存放在 <model>.ModelStat 中，其中 <model> 是 GAMS 模型的名称）。求解器状态（存放在 <model>.SolveStat 中）如果不同于 1（正常完成），也将给出。

以下消息用于最优解，CONOPT 将返回 ModelStat = 2（局部最优），除非另有说明：

    ** 最优解。没有超基本变量。

该解是局部最优的角点解。解仅由约束决定，变量值和目标函数值通常都非常精确。在某些情况下，CONOPT 可以确定该解是全局最优的，并将返回 ModelStat = 1（最优）。

    ** 最优解。简化梯度小于容差。

该解是局部最优的内部解。简化梯度的最大分量小于最优性容差 RTREDG（默认值 1.e-7）。

    ** 最优解。基于简化梯度和估计 Hessian 矩阵的
             最优目标函数值估计误差小于目标函数的最小容差。

该解是局部最优的内部解。简化梯度的最大分量大于最优性容差 RTREDG，但当用二阶信息缩放时，解看起来是最优的。

    ** 最优解。收敛速度太慢。目标函数的变化已连续
             xx 次迭代小于 xx.xx。

CONOPT 以一个看似最优的解停止。由于进度缓慢，求解过程停止。模型必须有大的导数，因此建议对其进行缩放。

以上四条消息都存在"最优"被替换为"不可行"的版本，此时 ModelStat 为 5（局部不可行）或 4（不可行）。

    ** 可行解。收敛速度太慢。目标函数的变化已连续
             xx 次迭代小于 xx.xx。

    ** 可行解。容差已最小且目标函数没有变化，
             尽管简化梯度大于容差。

这些消息表明 CONOPT 以一个可行解停止，但最优性准则尚未满足，伴随 ModelStat = 7（可行解）和 SolveStat = 4（由求解器终止）。

    ** 无界解。变量已达到'无穷大'。
              最大合法值 (LMMXVR) 为 xx.xx

如果变量超过 LMMXVR 的值（默认 1.e15），CONOPT 认为解是无界的，返回 ModelStat = 3（无界）。

    ** 已达到时间限制。

已达到 GAMS 中定义的时间限制。CONOPT 返回 SolveStat = 3（资源中断）。

    ** 已达到迭代限制。

已达到 GAMS 中定义的迭代限制。CONOPT 返回 SolveStat = 2（迭代中断）。

    ** 非线性函数中的域错误。

函数评估错误的数量已达到 GAMS 中通过 Option DomLim = xx; 定义的域限制。CONOPT 返回 SolveStat = 5（评估错误限制）。

    ** 初始导数太大（大于 Rtmaxj= xx.xx）。
              缩放变量和/或方程，或添加边界。

          ** 导数太大（大于 Rtmaxj= xx.xx）。
              缩放变量和/或方程，或添加边界。

如果导数或雅可比元素非常大，会出现这些消息。如果违规导数与 Log(x) 或 1/x 项相关，尝试增加 x 的下界。如果与 Exp(x) 项相关，必须减小 x 的上界。也可以尝试缩放模型。

    ** 前三角部分中的方程无法求解，
              因为临界变量在边界上。

          ** 前三角部分中的方程无法求解，
              因为主元太小。

          ** 方程与前三角部分中的其他方程不一致。

这些包含"前三角"的消息都与 CONOPT 预处理阶段识别出的不可行性有关。

    ** 致命错误 ** 内存不足，无法继续优化。
              必须请求更多内存。

如果 GAMS 提供的统计信息不足以估计所需内存，可能会出现此消息。您可以使用 <model>.WorkFactor = x.x; 或 <model>.WorkSpace = xx; 请求更多内存。

3. 迭代日志

运行 CONOPT 时，您会看到类似以下的日志文件：

 CONOPT 3         52.2.0 d8e408be Dec 8, 2025           WEI x86 64bit/MS Window

          C O N O P T   version 3.38.2
          Copyright (C) GAMS Software GmbH
                        GAMS Development Corporation

          Iter Phase   Ninf   Infeasibility   RGmax      NSB   Step  InItr MX OK
             0   0          1.1198119428E+02 (Input point)

          Iter Phase   Ninf   Infeasibility   RGmax      NSB   Step  InItr MX OK
             1   0          1.9323934856E-01                 1.0E+00     1 T  T
          ...

第一列是迭代编号。Phase 列显示迭代类型（0=类牛顿，1/2=可行/不可行 SLP，3/4=可行/不可行 SQP）。Infeasibility/Objective 列显示当前不可行性总和或目标函数值。RGmax 是最大简化梯度，NSB 是超基本变量数量，Step 是步长，InItr 是内部迭代次数，MX 和 OK 表示一维搜索的状态。

4. 预处理器

CONOPT 的预处理器通过识别和移除前三角和后三角变量和约束来简化模型。固定变量被完全移除。简单不等式被转化为边界。定义性约束（形如 x =E= f(y)）被识别并逻辑消除。

预处理器的输出显示在日志文件中，说明用户模型与内部模型的大小对比。可以使用选项 LKPRP = false 关闭预处理器。

5. 缩放

良好的缩放对任何 NLP 算法都很重要。CONOPT 有几种缩放方法，由选项 MTSCAL 控制。默认方法使用来自 GAMS 的导数信息为每个变量和方程计算缩放因子。缩放因子被投影到区间 [RTSCMN, RTSCMX] 上以避免极端值。

6. 算法（附录 A）

CONOPT 中使用的算法基于 Abadie 和 Carpentier（1969 年）首次提出的 GRG（广义简化梯度）算法。主要步骤如下：

1. 初始化并找到可行解。
2. 计算约束的雅可比矩阵 J。
3. 选择一组基本变量 xb，使得 B（J 的基本列子矩阵）非奇异。对 B 进行因式分解。
4. 求解 B^T u = df/dxb 得到乘子 u。
5. 计算简化梯度 rgra = df/dx - J^T u。
6. 如果投影到边界上的 rgra 很小，则停止。
7. 选择超基本变量并基于 rgra 和可能的二阶信息找到搜索方向。
8. 执行线搜索，调整基本变量以满足约束。
9. 转到步骤 2。

实际实现包含许多修改以提高对大型模型的效率。更多技术细节请参阅原始 CONOPT 文档和本文末尾的参考文献。

7. 选项

本节描述了 CONOPT 3 可用的选项。每个选项都有默认值，大多数用户不需要更改。

7.1 算法选项

7.2 调试选项

7.3 输出选项

7.4 接口选项

7.5 详细选项说明

FCSALL (整数): 函数评估次数的外部限制。
默认: 0（使用 GAMS DomLim）

ITLIM (整数): 迭代次数的外部限制。覆盖 GAMS IterLim。
范围: [0, 1000000000]

LFCSAL (整数): 函数评估次数的软限制。
范围: [100, 10000000] | 默认: 20000

LIOLD (整数): 基老化限制。如果基在 LIOLD 次迭代内没有变化，则触发重新分解。
范围: [1, 100] | 默认: 15

LISOWP (整数): 缓慢进展限制。如果连续 LISOWP 次迭代进展缓慢，则终止。
范围: [3, 100] | 默认: 10

LKADJX (整数): 调整初始点过程。0=关闭，1=在阶段 0 前执行，2=在阶段 0 前和阶段 0 中执行。
范围: [0, 2] | 默认: 2

LKCCLP (整数): 使用 SLP 前所需连续迭代次数。
范围: [1, 100] | 默认: 10

LKCCQP (整数): 使用 SQP 前所需连续迭代次数。
范围: [1, 100] | 默认: 5

LKDEBG (整数): 一阶导数调试级别。0=无调试，1=仅初始点，2=初始点和有问题时。
范围: [0, 2] | 默认: 2

LKFAST (整数): 在 SLP 模式下使用快速方法的标志。
范围: [0, 1] | 默认: 1

LKHESS (整数): 使用二阶导数的标志。0=从不，1=转换到 SQP 后，2=自动。
范围: [0, 2] | 默认: 2

LKLIND (整数): 在 SLP 方法中使用 LP 定价的标志。
范围: [0, 1] | 默认: 0

LKLTWO (整数): 在 SLP 方法中使用两种定价方法的标志。
范围: [0, 1] | 默认: 1

LKMODE (整数): CONOPT 的操作模式。0=自动，1=只使用 SLP，2=只使用 SQP，3=使用 CNS 模式。
范围: [0, 3] | 默认: 0

LKMSGL (整数): 消息级别。0=仅致命错误，1=错误，2=警告，3=信息，4=详细。
范围: [0, 4] | 默认: 2

LKNOPN (整数): 不使用无惩罚模型的标志。0=使用，1=不使用。
范围: [0, 1] | 默认: 0

LKPERM (整数): 在预处理后使用永久基的标志。
范围: [0, 1] | 默认: 1

LKPIVC (整数): 主元列检查的标志。
范围: [0, 1] | 默认: 1

LKPIVR (整数): 主元行检查的标志。
范围: [0, 1] | 默认: 1

LKPRP (整数): 使用预处理器的标志。0=不使用，1=使用。
范围: [0, 1] | 默认: 1

LKREDC (整数): 简化成本的标志。
范围: [0, 1] | 默认: 1

LKSSTA (整数): SQP 模式中稳态测试的标志。
范围: [0, 1] | 默认: 0

LKSTAL (整数): 停滞预防的标志。0=关闭，1=标准，2=激进。
范围: [0, 2] | 默认: 2

LKTRIE (整数): 前三角方程求解失败时的标志。0=停止，1=跳过并继续。
范围: [0, 1] | 默认: 1

LMMXVR (实数): 变量的最大绝对值。超过此值的变量触发无界消息。
范围: [1.e2, 1.e20] | 默认: 1.e15

LMSOWP (整数): 停滞前要满足的缓慢进展限制。
范围: [10, 1000] | 默认: 20

MTSCAL (整数): 缩放方法。0=无缩放，1=简单迭代，2=基于线性部分，3=自动选择。
范围: [0, 3] | 默认: 3

MXFSAL (整数): 函数评估的最大次数。
范围: [1000, 10000000] | 默认: 500000

MXITER (整数): 最大迭代次数。
范围: [100, 10000000] | 默认: 100000

MXSCTR (整数): 缩放过程中最大扫描次数。
范围: [1, 100] | 默认: 10

MXSTAGE (整数): 预处理阶段的最大次数。
范围: [1, 1000] | 默认: 100

PRPREC (整数): 预处理器更改变量的打印。0=不打印，N=打印前 N 个。
范围: [0, 10000] | 默认: 100

RTBOX (实数): 信任区域框的初始大小。
范围: [1.e-4, 1.e12] | 默认: 1.e6

RTDEGN (实数): 退化容差。用于检测退化约束。
范围: [3.e-13, 1.e-4] | 默认: 1.e-8

RTEOBJ (实数): 目标函数的相对精度。假设目标函数可以计算到 RTEOBJ * max(1,|Obj|) 的精度。
范围: [3.e-14, 1.e-6] | 默认: 3.e-13

RTFEAS (实数): 可行性容差。约束残差小于此值被视为可行。
范围: [3.e-13, 1.e-4] | 默认: 1.e-7

RTFEAX (实数): 最大可行性容差。
范围: [3.e-13, 1.e-4] | 默认: 1.e-7

RTFMIN (实数): 最小可行性容差。收紧容差时的目标值。
范围: [3.e-13, 1.e-8] | 默认: 4.e-10

RTFTRM (实数): 三角方程的可行性容差。
范围: [3.e-13, 1.e-4] | 默认: 1.e-8

RTMAXJ (实数): 最大允许雅可比元素。如果任何|J|元素大于此值，CONOPT 将停止。
范围: [1.e4, 1.e15] | 默认: 1.e12

RTOBCH (实数): 目标函数变化容差。如果目标变化小于 RTOBCH * max(1,|Obj|)，迭代被视为缓慢进展。
范围: [3.e-14, 1.e-6] | 默认: 7.e-13

RTPIV (实数): 绝对主元容差。0 表示自动选择。
范围: [0, 1.e-4] | 默认: 0

RTPIVU (实数): 基更新期间的相对主元容差。较小的值允许更稀疏的基更新但可能导致数值误差累积。
范围: [1.e-3, 0.9] | 默认: 0.05

RTREDG (实数): 简化梯度的最优性容差。简化梯度的最大超基本分量小于此值时解被认为最优。
范围: [3.e-13, 1] | 默认: 1.e-7

RTPREC (实数): 预处理器变量更改的打印容差。只打印变化超过 deltaX > RTPREC * max(1,|X|) 的变量。
范围: [0, ∞] | 默认: 0.0

RTPREL (实数): 预处理器中定义大量变量更改的容差。deltaX > RTPREL * max(1,|X|) 被视为大变化。
范围: [0, ∞] | 默认: 0.01

RTSCMN (实数): 缩放因子下界。缩放因子被投影到此值以上。1 表示不放大小的值。
范围: [1.e-10, 1] | 默认: 1

RTSCMX (实数): 缩放因子上界。缩放因子被投影到此值以下。
范围: [1, 1.e30] | 默认: 1.e20

RVFILL (实数): 基分解的填充因子。假设填充为 Rvfill-1 倍基中初始非零元素数。
范围: [1.00, 20] | 默认: 5

RVHESS (实数): Hessian 的存储因子。如果 Hessian 中非零元素数 > 非线性雅可比元素数 * Rvhess，则跳过 Hessian。0 表示无限制。
默认: 10

RVTIME (实数): 时间限制（秒）。覆盖 GAMS Reslim 选项。
默认: GAMS ResLim

RTZERN (实数): 外部方程中的零噪声容差。用于避免外部函数常量导数的假阳性调试消息。
范围: [0, 1] | 默认: 0.0

8. 附录 C — 参考文献

1. J. Abadie 和 J. Carpentier, Generalization of the Wolfe Reduced Gradient Method to the case of Nonlinear Constraints, 载于 Optimization, R. Fletcher (ed.), Academic Press, New York, 37–47 (1969).
2. A. Drud, A GRG Code for Large Sparse Dynamic Nonlinear Optimization Problems, Mathematical Programming 31, 153–191 (1985).
3. A. S. Drud, CONOPT – A Large-Scale GRG Code, ORSA Journal on Computing 6, 207–216 (1992).
4. A. S. Drud, CONOPT: A System for Large Scale Nonlinear Optimization, Tutorial for CONOPT Subroutine Library, 16p, ARKI Consulting and Development A/S, Bagsvaerd, Denmark (1995).
5. A. S. Drud, CONOPT: A System for Large Scale Nonlinear Optimization, Reference Manual for CONOPT Subroutine Library, 69p, ARKI Consulting and Development A/S, Bagsvaerd, Denmark (1996).
6. J. K. Reid, A Sparsity Exploiting Variant of Bartels-Golub Decomposition for Linear Programming Bases, Mathematical Programming 24, 55–69 (1982).
7. D. M. Ryan 和 M. R. Osborne, On the Solution of Highly Degenerate Linear Programmes, Mathematical Programming 41, 385–392 (1988).
8. U. H. Suhl 和 L. M. Suhl, Computing Sparse LU Factorizations for Large-Scale Linear Programming Bases, ORSA Journal on Computing 2, 325–335 (1990).

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